Blog informativo
de
Matematicas Discretas
por
Angel Emmanuel Ruiz Alcaraz
6° V
Ingenieria en sistemas
lunes, 8 de diciembre de 2014
1. SISTEMAS NUMÉRICOS
1. SISTEMAS NUMÉRICOS
Los sistemas numéricos son muy importantes en computación, aquí veremos los sistemas en base
2, 8 y 16 que son las que más se utilizan en computación; por supuesto con la relación entre la
base 10 que es la que utilizamos los seres humanos.
SISTEMAS DE NUMERACIÓN Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas
que se utilizan para representar los números.
Dependiendo del sistema en particular el manejo y las operaciones pueden resultar muy simples o
muy complicadas, por tal razón en computación se manejan sistemas posicionales de bases que
sean potencias de 2, ya que los algoritmos para las operaciones son los más simples.
Los sistemas de numeración usados en la actualidad son posicionales. El valor de una cifra
depende tanto de qué dígito es como de la posición que ocupa en el número.
Base. Es el número de símbolos distintos que se utiliza para representar un número en un sistema
de numeración. Entonces decimos que el sistema de numeración es de esa base. Los símbolos de
una determinada base van desde el 0 hasta la base −1.
Coeficiente. El coeficiente determina el valor de cada símbolo dependiendo de la posición que
ocupe con respecto al punto decimal. Por lo tanto a estos sistemas de numeración los llamaremos
sistemas de numeración posiciónales, porque el valor de cada cifra dependerá del valor absoluto
del símbolo y de la posición relativa que ocupa con respecto al punto decimal.
Empezamos por representar números enteros en una base b. Los símbolos utilizados son
{0,1,2,3,…,b-1} si b es menor o igual a 10, en caso de ser mayor podemos utilizar las letras A, B,
C, … después del 9 o algún otro símbolo que se defina previamente. Como los sistemas que se
utilizan por lo general no pasan de base 16, con las letra A, B, C, D, E y F es suficiente.
En un sistema de numeración de base n existen n símbolos. Al escribir un número en base n, el
dígito d en la posición i, de derecha a izquierda, tiene un valor
En general, un número escrito en base n como dmdm − 1…d2d1 tiene un valor
Número: Idea que representa la cantidad de elementos de un conjunto. Sentido Semántico.
Numeral: Símbolo que se usa para representar un número. Sentido Sintáctico.
Así en el caso anterior se tienen varios numerales para un sólo número.
El numeral es a nivel sintáctico, esto es, símbolos utilizados para representar el número que es al
nivel semántico: idea ó significado que representa dicho símbolo.
Por ahora utilizaremos el sistema indo-arábigo para representar los enteros, o sea
= {1, 2, 3,…}
= {0, 1, 2, 3…}
Pero también se utilizará el español. Así, por ejemplo: 7 y siete representan la misma idea.
La fundamentación de los números enteros se puede hacer de acuerdo a Peano y tiene dos
ventajas, primero se formaliza matemáticamente y segundo se consideran como entes sintácticos,
que pueden ser manejados en computación.
Así definimos 0 como la cardinalidad del conjunto vacío, 1 como la cardinalidad de un conjunto
que contenga un elemento. 2 como la cardinalidad de un conjunto que contenga dos elementos.
Obviamente los números naturales no son suficientes para realizar los problemas que se presentan
y es necesario otro conjunto mayor. El de los números enteros, este conjunto aparece cuando se
presenta el siguiente problema:
X + 5 = 3
Que aparece en casos como el siguiente: “Oye sobrino, cómo es que en la bodega hay 3 toneladas
si envié 5, deberían de tener 5 más lo que había “, el problema es que se debían 2, contesta el
sobrino.
De cualquier manera matemáticamente el problema planteado está dado por:
X+5 = 3
Cuya solución requiere de un tipo de número llamado: los enteros negativos. Así llegamos a los
enteros
Z = {…,−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3,…}
1.1 Sistemas numéricos
1.1 Sistemas numéricos (binario, octal, decimal, hexadecimal).
El sistema decimal. El sistema de numeración decimal es un sistema posicional. La base del
sistema de numeración decimal es 10 y está formado por los dígitos del 0 al 1. Un número en el
sistema de numeración decimal lo podemos definir según el teorema fundamental de la
numeración de la siguiente forma. Numero b= x0b0+ x1b1 + x2b2 + …. + xn-1bn-1 xi = cifras b
= datos n = número de cifras
El sistema binario. El sistema binario o sistema de numeración en base 2 es también un sistema
de numeración posicional igual que el decimal, pero sólo utiliza dos símbolos, el “0” y el “1”. Por
lo tanto para poder representar mayor número de información al tener menos símbolos tendremos
que utilizar más cifras § Cuarteto: Número formado por 4 cifras en base 2 § Bit: Bynary digit §
Byte: 8 bits § Kilobyte: 1024 bytes § Megabyte: 1024 kilobytes § Gigabyte: 1025 megabytes
Binario puro
El método de representación de enteros del binario puro consiste en pasar el número entero
sin signo a binario, con la particularidad de respetar siempre el tamaño de la representación.
El paso de decimal a binario consiste en dividir por 2 sucesivamente hasta que el cociente sea
menor que la base:
Con lo que queda 1110 = 10112
Sistema Octal. Es un sistema de base 8, es decir, con tan solo ocho dígitos posibles, „0‟ a „7‟.
El paso de octal a decimal se realiza multiplicando cada dígito por su peso: 278 = 2 ·81 + 7 · 80 =
2310 El paso inverso consiste en dividir por la base (8):
Con lo que queda 678 = 10310
Sistema Hexadecimal. Sin embargo el sistema de numeración más utilizado es el hexadecimal, el
cual consta de 16 dígitos diferentes (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F). El paso de
hexadecimal a decimal es análogo a los anteriores: 12316 = 1 · 162 + 2 · 161
+ 3 · 160
= 29110 Al
igual que el paso de decimal a hexadecimal:
Con lo que queda 29110 = 12316 Los 16 valores posibles de una variable hexadecimal son:
1.2 Conversiones entre Sistemas
1.2 Conversiones entre Sistemas
1.2.1 Decimal a Binario Octal y Hexadecimal
Para poder manejar los números en la computadora es necesario entender cómo seconvierta de una base a otra.
Para convertir de base 10 a binario el algoritmo resulta muy sencillo, se divide entre 2 y se
anota el cociente bajo el número y el residuo a la derecha, se aplica iterativamente este
procedimiento hasta llegar a 0 y al final el resultado es la cadena de bits de abajo hacia arriba.
Ejemplo 1: Convertir a binario 49
Por lo tanto 49= 110001 base 2
Ejemplo 2. Convertir 123 a binario:
Por lo tanto 123= 1111011 base 2
Convertir de decimal a octal
Ejemplo: Convertir 381 a base 8.
Por lo tanto 381= 575 base 8
Similarmente para convertir un número en base 10, a base 16 dividimos entre 16
aplicando el algoritmo que se utilizó en base 2 y en base 8, en este caso si el residuo es mayor de
9 se utilizan las letras A, B, C, D, E y F.
Por lo tanto 4325= 10E5 base 16
1.3 Operaciones básicas.
1.3 Operaciones básicas.
Recordemos los algoritmos para efectuar las operaciones básicas:
Adición
76.512
+
149.83
----------------
226.342
Sustracción
628.420
-
555.405
----------------
73.015
Multiplicación
42.5
x 6.7
-------------
2975
2550
-----------
284.75
Recuerde una prueba para verificar si la operación está bien hecha.
42.5 Sumando los dígitos obtenemos: 11 módulo 9 queda: 2
× 6.7 Sumando los dígitos obtenemos: 13 módulo 9 queda: 4
---------------
2975
2550 Multiplicando los dígitos anteriores da 4 x 2 = 8
-----------
284.75 Sumando los dígitos obtenemos: 26 módulo 9 queda 8
y por ser igual al producto anterior la multiplicación es correcta.
Sistema binario.
Recordemos que la representación de un número en el sistema posicional es una cadena
de símbolos básicos los cuales se forman de acuerdo a la base.
Para no confundir los números a la representación en otra base distinta de diez se le
escribirá dicha base al terminar el numeral que representa el número.
Ejemplo: 2468 significa que está en base 8.
43025 significa que está en base 5.
10100112 significa que está en base 2.
La base que se va a utilizar, por ahora, es la base 2, tiene la ventaja de que utiliza sólo dos
símbolos, llamados bits. Conjunto de bits {0,1}.
A la representación en base 2 se le llama también representación binaria.
Ejemplo: 100112 = 1 x 2^4
+ 0 x 2^3
+ 0 x 2^2
+ 1 x 2^1
+ 1 x 2^0
= 16 + 2 + 1 = 19
( al no aparecer base la base indicada, significa base 10)
110.10112 = 1 x 2^2
+ 1 x 2^1
+ 0 x 2^0
+ 1 x 2^–1
+ 0 x 2^–2
+ 1 x 2^–3
+ 1 x 2–^4
= 4 + 2 + 0 + .5 + .125 + .0625 = 6.6825
Para representar un número que está en base 10 en sistema binario, deberá agruparse de
dos en dos (en lugar de diez en diez que fue lo que se hizo en el sistema decimal).
Por ejemplo, analicemos el número 7
Si agrupa en pares se tienen tres pares y una unidad, si se agrupan en pares de duplos se
obtiene un par y un duplo \ 7 = 1112
Para entender mejor el sistema binario considere unas celdas donde se pueden escribir los
símbolos 0 ó 1 (bits) y piense que cada celda tiene un valor dado por la siguiente figura:
Así el número 100112 lo analizamos
y su representación en base 10 es 16 + 2 + 1 = 19.
Para convertir de base 10 a binario el algoritmo resulta muy sencillo, se divide entre 2 y se
anota el cociente bajo el número y el residuo a la derecha, se aplica iterativamente este
procedimiento hasta llegar a 0 y al final el resultado es la cadena de bits de abajo hacia arriba.
Ejemplo 1: convertir a binario 49
Ejemplo 2. Convertir 123 a binario:
Como en el sistema binario sólo hay 2 dígitos la adición y la multiplicación resultan muy
simples:
Apliquemos el procedimiento de la suma que usamos en el sistema decimal ya que
también los algoritmos son similares:
Algoritmos de División
Igual que en el producto, la división es muy fácil de realizar, porque no son posibles en el
cociente otras cifras que UNOS y CEROS.
Consideremos el siguiente ejemplo, 42 : 6 = 7, en binario:
Se intenta dividir el dividendo por el divisor, empezando por tomar en ambos el mismo número
de cifras (100 entre 110, en el ejemplo). Si no puede dividirse, se intenta la división tomando un
dígito más (1001 entre 100).
Si la división es posible, entonces, el divisor sólo podrá estar contenido una vez en el dividendo,
es decir, la primera cifra del cociente es un UNO. En ese caso, el resultado de multiplicar el
divisor por 1 es el propio divisor. Restamos las cifras del dividendo del divisor y bajamos la cifra
siguiente.
El procedimiento de división continúa del mismo modo que en el sistema decimal.
2. CONJUNTOS
2. CONJUNTOS
Características de los conjuntos.
DEFINICIÓN: La palabra conjunto generalmente la asociamos con la idea de agrupar
objetos, por ejemplo un conjunto de discos, de libros, de plantas de cultivo y en otras ocasio nes
en palabras como hato, rebaño, piara, parcelas, campesinado, familia, etc., es decir la palabra
conjunto denota una colección de elementos claramente entre sí, que guardan alguna
característica en común. Ya sean números, personas, figuras, ideas y conceptos.
En matemáticas el concepto de conjunto es considerado primitivo y ni se da una
definición de este, sino que se trabaja con la notación de colección y agrupamiento de objetos, lo
mismo puede decirse que se consideren primitivas las ideas de elemento y pertenencia.
La característica esencial de un conjunto es la de estar bien definido, es decir que dado un
objeto particular, determinar si este pertenece o no al conjunto. Por ejemplo si se considera el
conjunto de los números dígitos, sabemos que el 3 pertenece al conjunto, pero el 19 no. Por otro
lado el conjunto de las bellas obras musicales no es un conjunto bien definido, puesto que
diferentes personas puedan incluir distintas obras en el conjunto.
Los objetos que forman un conjunto son llamados miembros o elementos. Por ejemplo el
conjunto de las letras de alfabeto; a, b, c, ..., x, y, z. que se puede escribir así:
{ a, b, c, ..., x, y, z}
Como se muestra el conjunto se escribe entre llaves ({}) , o separados por comas (,).
El detallar a todos los elementos de un conjunto entre las llaves, se denomina forma
tabular, extensión o enumeración de los elementos.
Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos, por ejemplo:
El conjunto { a, b, c } también puede escribirse:
{ a, c, b }, { b, a, c }, { b, c, a }, { c, a, b }, { c, b, a }
En teoría de conjuntos se acostumbra no repetir a los elementos por ejemplo:
El conjunto { b, b, b, d, d } simplemente será { b, d }.
NOTACIÓN: Los conjuntos se denotan por letras mayúsculas : A, B, C,... por ejemplo:
A={ a, c, b } B={ primavera, verano, otoño, invierno }
El símbolo indicará que un elemento pertenece o es miembro de un conjunto. Por el
contrario para indicar que un elemento no pertenece al conjunto de referencia, bastará cancelarlo con una raya inclinada / quedando el simbolo como
Ejemplo: Sea B={ a, e, i, o, u }, a
B y c B
B y c B 2.1 Conjunto universo, vacío
2.1 Conjunto universo, vacío
UNIVERSO O CONJUNTO UNIVERSAL: El conjunto que contiene a todos los elementosa los que se hace referencia recibe el nombre de conjunto Universal, este conjunto depende del
problema que se estudia, se denota con la letra U y algunas veces con la letra S (espacio
muestral).
Por ejemplo si solo queremos referirnos a los 5 primeros números naturales el conjunto
queda:
U={ 1, 2, 3, 4, 5 }
Forma alternativa para indicar conjuntos de gran importancia:
Conjunto de números naturales (enteros mayores que cero) representados por la letra N
donde
N={ 1, 2, 3, .... }
Conjunto de números enteros positivos y negativos representados por la letra Z donde
Z={..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }
Conjunto de números racionales (números que se representan como el cociente de dos
números enteros {fracciones }). Estos números se representan por una Q
Conjunto de números irracionales (números que no puedan representarse como el cociente
de dos números enteros) representados por la letra I.
Conjunto de los números reales que son los números racionales e irracionales es decir
todos, representados por R.
Todos estos conjuntos tienen un número infinito de elementos, la forma de simbolizarlos
por extensión o por enumeración es de gran utilidad cuando los conjuntos a los que se hace referencia tienen pocos elementos para poder trabajar con ellos se emplean la notación llamada
comprensión.
Por ejemplo, la denotar el conjunto de los números naturales menores que 60. Aquí U es
el conjunto N y se tiene una propiedad que caracteriza a los elementos del conjunto: ser menores
que 60.
Para indicar esta situación empleamos la simbología del álgebra de conjuntos:
{ x/x E N ; x<60 }
En esta expresión se maneja un conjunto de x que pertenece a los números naturales (N) y
además que los valores de x son menores que 60.
Ahora si se desea trabajar con conjuntos que manejen intervalos estos pueden ser
representados por medio de una expresión algebraica; supongamos que se desea expresar los
números enteros (Z) entre -20 y 30 el conjunto quedaría de la manera siguiente:
{ x/x E Z ; -20 E x E 30 }
También se puede expresar el valor de un conjunto indicando la pertenencia o no
pertenencia a uno diferente, por ejemplo
L={ 1, 3, 4, 6, 9 }
P={ x/x E N ; X E L }
En el conjunto P se indica que los elementos x de un conjunto pertenecen a los números
naturales y además x no pertenece al conjunto L.
CONJUNTO VACÍO: Es un conjunto que carece de elementos. Se suele llamarle
conjunto nulo, y se le denota por el símbolo ø o { }.
Ejemplos:
A = { Los perros que vuelan }
A
= { }
A
= Ø
B = { x / x
es un mes que tiene 53 días}
B
= { }
B
= Ø
C = { x / x3
= 8 y x es impar }
C
= { }
C
= Ø
D = { x / x
es un día de 90 horas }
D
= { }
D
= Ø
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