3 ALGEBRA BOOLEANA

3 ALGEBRA BOOLEANA 

El álgebra booleana es un sistema matemático deductivo centrado en los valores cero y
uno (falso y verdadero). Un operador binario “ º “ definido en éste juego de valores acepta un par
de entradas y produce un solo valor booleano, por ejemplo, el operador booleano AND acepta
dos entradas booleanas y produce una sola salida booleana. Para cualquier sistema algebraico
existen una serie de postulados iniciales, de aquí se pueden deducir reglas adicionales, teoremas y
otras propiedades del sistema,

Teoremas y postulados. 

Cerrado. El sistema booleano se considera cerrado con respecto a un operador binario si 

para cada par de valores booleanos se produce un solo resultado booleano. 

Conmutativo. Se dice que un operador binario “ º “ es conmutativo si A º B = B º A para 

todos los posibles valores de A y B. 

Asociativo. Se dice qu un operador binario “ º “ es asociativo si (A º B) º C = A º (B º C) 

para todos los valores booleanos A, B, y C. 

Distributivo. Dos operadores binarios “ º “ y “ % “ son distributivos si A º (B % C) = (A º 

B) % (A º C) para todos los valores booleanos A, B, y C. 

Identidad. Un valor booleano I se dice que es un elemento de identidad con respecto a un 

operador binario “ º “ si A º I = A. 

Inverso. Un valor booleano I es un elemento inverso con respecto a un operador booleano 

“ º “ si A º I = B, y B es diferente de A, es decir, B es el valor opuesto de A. 

Para nuestros propósitos basaremos el álgebra booleana en el siguiente juego de 

operadores y valores: - Los dos posibles valores en el sistema booleano son cero y uno, a menudo 

llamaremos a éstos valores respectivamente como falso y verdadero. El símbolo · representa la 

operación lógica AND. Cuando se utilicen nombres de variables de una sola letra se eliminará el 

símbolo ·, por lo tanto AB representa la operación lógica AND entre las variables A y B, a esto también le llamamos el producto entre A y B. - El símbolo “+” representa la operación lógica 

OR, decimos que A + B es la operación lógica OR entre A y B, también llamada la suma de A y 

B. El complemento lógico, negación ó NOT es un operador unitario, en éste texto utilizaremos el 

símbolo “ ¬ “ para denotar la negación lógica, por ejemplo, ¬ A denota la operación lógica NOT 

de A. 

Si varios operadores diferentes aparecen en una sola expresión booleana, el resultado de la 

expresión depende de la procedencia de los operadores, la cual es de mayor a menor, paréntesis, 

operador lógico NOT, operador lógico AND y operador lógico OR. Tanto el operador lógico 

AND como el OR son asociativos por la izquierda. Si dos operadores con la misma procedencia 

están adyacentes, entonces se evalúan de izquierda a derecha. El operador lógico NOT es 

asociativo por la derecha. Utilizaremos además los siguientes postulados: 

P1 El álgebra booleana es cerrada bajo las operaciones AND, OR y NOT 

P2 El elemento de identidad con respecto a · es uno y con respecto a + es cero. No existe 

elemento de identidad para el operador NOT 

P3 Los operadores * y + son conmutativos. 

P4 * y + son distributivos uno con respecto al otro, esto es, A*(B+C) = (A*B)+(A*C) y A+(B*C) 

= (A+B)*(A+C). 

P5 Para cada valor A existe un valor ¬A tal que A*¬A = 0 y A+¬A = 1. Éste valor es el 

complemento lógico de A. 

P6 * y + son ambos asociativos, esto es, (AB)C = A(BC) y (A+B)+C = A+(B+C). 

Es posible probar todos los teoremas del álgebra booleana utilizando éstos postulados, además es 

buena idea familiarizarse con algunos de los teoremas más importantes 

Hemos dicho que los circuitos digitales trabajan con números, y que estos números se 

expresan en binario. Veremos más adelante cómo con un conjunto de ecuaciones podemos 

describir lo que hace un circuito, que transforma los números de la entrada y por otros que obtenemos en la salida. Sin embargo, puesto que estos números vienen expresados en binario, las 

variables y números utilizados NO SON REALES. 

Para describir un circuito digital utilizaremos ecuaciones 

Para describir un circuito digital utilizaremos ecuaciones matemáticas. Sin embargo, 

estas ecuaciones tienen variables y números que NO SON REALES, por lo que NO podemos 

aplicar las mismas propiedades y operaciones que conocemos. Hay que utilizar nuevas 

operaciones y nuevas propiedades, definidas en el ALGEBRA DE BOOLE. 

Por tanto, vamos a trabajar con unas ecuaciones a las que NO estamos acostumbrados. 

Son muy sencillas, pero al principio pueden resultar poco intuitivas. En este capítulo 

aprenderemos a trabajar con ellas. 

Las operaciones del Álgebra de Boole 

En el Álgebra de Boole hay dos operaciones, denotadas con los símbolos + y * pero que 

¡¡no tienen nada que ver con las operaciones que todos conocemos de suma y producto!!. 

¡¡¡No hay que confundirlas!!!!. El + y el * del Algebra de Boole se aplican a bits, es decir, a 

números que sólo pueden ser el ’0’ ó el ’1’. 

La operación + 

Esta operación se define de la siguiente manera: 

0 + 0 = 0 

0 + 1 = 1 

1 + 0 = 1 

1 + 1 = 1 

Las tres primeras operaciones nos resultan obvias, son iguales que la suma que 

conocemos, sin embargo la expresión 1 + 1 = 1 nos puede resultar chocante. ¿¿Pero no me 

habían dicho toda la vida que 1+1=2??, nos podemos estar preguntando. Sí, pero hay que 

recordar que aquí estamos utilizando otra operación que NO ES LA SUMA, la denotamos con el 

mismo símbolo ‟+‟, ¡¡pero no es una suma normal!! ¡¡Hay que cambiar el “chip”!! ¡¡Ahora 

estamos con Algebra de Boole!! 

Pasado el pánico inicial, si nos fijamos en esta nueva operación, notamos lo siguiente: El 

resultado siempre es igual a ’1’ cuando alguno de los bits sumandos es igual a ’1’. O lo que 

es lo mismo, El resultado de esta suma sólo da ’0’ si los dos bits que estamos sumando son 

iguales a cero. En caso contrario valdrá ‟1‟. 

¿Y para qué nos sirve esta operación tan extraña? Veamos un ejemplo. Imaginemos que 

hay una sala grande a la que se puede acceder a través de dos puertas. En el techo hay una única 

lámpara y existen dos interruptores de luz, uno al lado de cada puerta de entrada. Como es lógico, 

la luz se enciende cuando algunos de los dos interruptores (o los dos) se activan. Esto lo 

podemos expresar mediante una ecuación booleana. Para denotar el estado de uno de los 

interruptores utilizaremos la variable booleana A, que puede valor ‟0‟ (Interruptor apagado) ó 

‟1‟ (interruptor activado). Para el otro interruptor usaremos la variable B. Y para el estado de la 

luz, ‟0‟ (apagada) y ‟1‟ encendida, usaremos la variable F. 

El estado en el que se encuentra la luz, en función de cómo estén los interruptores viene 

dado por la ecuación booleana: 

F = A +B que indica que F=1 (Luz encendida) si alguno de los interruptores está a ‟1‟ 

(activado). 

Ya lo veremos más adelante, pero podemos ir adelantando unas propiedades muy 

interesantes. 

Si A es una variable boolena, se cumple: 

A + A = A 

1 + A = 1 

0 + A = A 

La operación * Esta operación se define así: 

0 * 0 = 0 

0 * 1 = 0 

1 * 0 = 0 

1 * 1 = 1 

En este caso, la operación es más intuitiva, puesto que es igual que el producto de 

números Reales. Si nos fijamos, vemos que el resultado sólo vale ’1’ cuando los dos bits están 

a ’1’, o visto de otra manera, el resultado es ’0’ cuando alguno de los dos bits es ’0’. 

Vamos a ver un ejemplo. Imaginemos una caja de seguridad de un banco que sólo se abre 

cuando se han introducido dos llaves diferentes, una la tiene el director y la otra el jefe de 

seguridad. Si sólo se introduce una de ellas, la caja no se abrirá. Modelaremos el problema así. 

Utilizaremos la variable A para referirnos a una de las llaves (‟0‟ no introducida, ‟1‟ 

introducida) y la variable B para la otra llave. Con la variable F expresamos el estado de la caja 

de seguridad (‟0‟ cerrada y ‟1‟ abierta). El estado de la caja lo podemos expresar con la ecuación: 

F = A*B que indica que la caja se abrirá (F=1) sólo si A=1 (una llave introducida) y B=1 (la otra 

llave introducida). En cualquier otro caso, F=0, y por tanto la caja no se abrirá. 

Podemos ir adelantando algunas propiedades de esta operación: 

A*A=A 

A*0=0 

A*1=A 

La negación 

La operación de negación nos permite obtener el estado complementario del bit o variable 

booleana al que se lo aplicamos. Se define de la siguiente manera: 

Es decir, que si se lo aplicamos a ‟0‟ obtenemos ‟1‟ y si se lo aplicamos al ‟1‟ obtenemos 

‟0‟. Esta operación nos permite cambiar el estado de una variable booleana. Si A es una variable 

boolena, Ā tiene el estado contrario.